二元二次式可分解為一次式相乘的充要條件@ isdp2008am

由以上兩例可知，能把(1)的左式分解為兩個一次式之乘積，對方程式(1)的求解有很大的幫助。

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)日誌相簿影音好友名片 201712291839二元二次式可分解為一次式相乘的充要條件?數學學習心得「我們這輩後生，讀恁多書，考恁多試，係毋記得咧，自家个名，講个話。

」  (我們這輩年輕人，讀那麼多書考那麼多試，卻不記得了，自己的名字，講的話) —取自歌曲《屋》歌詞 一、前言     如果我們考慮底下的二次方程式 其中係數可為複數(當然也可限制為實數)，且不全為0。

一個蠻自然的問題，是問(1)的左式在什麼條件下，可以分解成兩個一次式相乘呢？     舉兩個「可以分解」的例子來看好了。

第一個例子如下： 因此的解，就是平面上兩相交直線與的聯集；第二個例子較簡單，如下： 所以的解，是平面上的兩平行直線與的聯集。

由以上兩例可知，能把(1)的左式分解為兩個一次式之乘積，對方程式(1)的求解有很大的幫助。

    在參考資料[1]中，作者於求解二元二次方程組時，介紹了底下有用的性質： 性質1：(1)的左式可以分解成兩個一次式乘積的充要(充分且必要之)條件為 但[1]文作者並未證明性質1。

不過，如果我們對(2)式與(3)式這兩個例子寫下與(4)左式對應的行列式，確實會發現 這符合性質1的結論所述。

    為何筆者會特別找出參考資料[1]呢？其實是因為在閱讀數學傳播第118期文章《換個觀點看三角形的四心》時(見[2])，發現作者在解題過程中使用了性質1，也將[1]列為參考文獻的緣故。

在接下來的兩小節中，筆者將證明性質1，希望能給有興趣的讀者參考。

二、必要性的證明     先證明性質1條件(4)的必要性。

如果(1)的左式可以分解成兩個一次因式，亦即有： 其中不全為0、也不全為0，注意即使上式中全為實數，中也可以有虛數。

由上式可知 比較上式等號兩邊係數後可知  此時，我們可將行列式(4)寫出並展開如下 在(5)的最後一個等號右邊共有三項，將其後兩項之和另外計算如下： 將(6)代回(5)，即得 至此，我們就證明了性質1敘述中的必要性。

三、充分性的證明     接下來我們證明性質1條件(4)的充份性。

如果(4)成立，我們想證明(1)的左式，即下方的(7)式可分解成兩個一次因式：      底下，我們對(7)中是否具備的條件，分成兩種情形討論： (A)當時：   由(4)可知 此時，我們再對是否成立，分成兩種情形討論。

(A-1)先看的情形，此時可將(7)式配方如下： 因為，我們總是可以將(1)寫成的形式。

在(8)最後的結果，我們假設已經寫成，此時可知 將(9)代入(8)，就將(7)式成功分解成兩個一次因式之積。

(A-2)再來看的情形，因為此大類下已知，可知不能同時為0(否則，(7)就不是二次式)，因此在與中，兩者恰有一個成立。

不妨先假設，因此，由(4)可知： 此時(7)式可化為 其中是的兩根(實或虛)。

同理，當時將有，仿照上述過程推得後，可知(7)式可分解為兩個一次因式如下： 其中是的兩根(實或虛)。

至此，再次將(7)式分解形如(10)或(11)的兩個(僅含x或y)的一次因式之積。

    至此，我們完成了時這一大類情形的證明。

要再次請讀者注意的是，上面(9),(10),(11)的一次因式中出現的係數可以是虛數，這是在性質1的敘述中沒有特別強調的。

(B)當時：     透過座標軸旋轉，以原點為中心逆時針轉角後，得新的坐標軸如下圖： 圖1 假設圖1中向量與原來的橫坐標(軸)正向的夾角為，則它與新的橫坐標(軸)的夾角為。

假設，與則新坐標與原坐標的關係，可由圖1求得如下(證明見註1)： 將(12)代入(7)之後，可得 其中，計算後可知新係數滿足 因為，只要取滿足 即知 由(14)得 這樣就把(13)的右式化為 因為上式中項的係數為0，可直接利用(a)的結論，知上式可分解成兩個含或的一次因式之積(請參考上面(9),(10),(11)式的結果)。

假設分解後形如： 則可再利用底下的關係式(證明見註2)： 將(16)代入(15)的右式，並配合(13)，便將(7)的分解為兩個含x或y的一次因式之積如下：   其中與有關、與有關。

至此，我們完成了情形的證明。

   由以上(A)部分與(B)部份的討論，我們就證明了性質1條件(4)的充份性。

四、結語     本文寫作過程中，第二節的證明較早完成，第三節則是蘊釀了一段時間。

上網搜尋資料後，發現了建國中學林信安老師網站的文章[3]，覺得其內容值得參考。

但在[3]中，林老師所考慮的二次方程式為   其三項的係數，與(1)式考慮的係數不同，有些東西要重新計算。

過了一段時間，直到找出(8)透過配方的手法，完成第三節中(A)部分(時)的證明後，才認真仿照林老師在[3]中的方式，算出(13)中各係數以原係數寫成的表示式，並順利完成(B)部分(時)的證明。

    值得一提的是，林老師在[3]中介紹了(16)在旋轉變換之下，新舊係數所滿足的幾個不變量關係，其證明過程也蠻有意思的，有興趣的讀者不妨參考。

此外，本文的證明，也與本站另一篇文章[4]有關。

   至於文章開始前分享的幾句歌詞，請參考[5]，裡面有客語歌詞可以學習。

註1：參考圖1，透過正餘弦函數的和角公式知 註2：參考圖1，透過正餘弦函數的差角公式知 參考資料： 1.左銓如,季素月,朱家生,陳鼎,初等代數研究,九章出版社,1998年4月, p.157-159。

2.劉俊傑,換個觀點看三角形的四心,數學傳播第30卷第2期(118),2006年6月。

http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d302/30203.pdf 3.林信安,二元二次方程式的化簡(一般課程講義)，黑狗的家。

http://math1.ck.tp.edu.tw/林信安/學術研究/上課講義/第五冊/2-3化簡二次曲線.pdf 4.《關於一篇數播文章的補充》，本站文章 http://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/555297898 5.屋，詞/曲：陳彥竹，106年臺灣原創流行歌曲大獎客語組首獎 https://www.youtube.com/watch?v=Te84dpRPdFQ (本文作者：連威翔，曾任職於交大理學院科學學士班)isdp2008am/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應 加我為好友日誌相簿影音 我的相簿 isdp2008am's新文章有用連結UsefulLinks關於雙週一題各學年度第一學期第一題的公布日期一道不等式問題的另解一道組合問題的遞迴解法一定要求出與正弦或餘弦相關的三角比數值嗎？一道高中數學競賽筆試問題的另解一道共線問題的再探一道徵答題的解法分享(雙週一題2022春季第7題)Anothersolutiontoanalgebraproblem一道線性方程組問題的推廣與另解一道排列組合問題的另解(JEE) 全部展開|全部收合 關鍵字 isdp2008am's新回應沒有新回應！