彈簧的簡諧運動| 學呀- 物理| 彈力係數、恢復力

彈簧的簡諧運動彈簧的運動模式如圖，我們將一個位於平衡狀態的彈簧加上一個木塊，並且將彈簧拉伸至位置a。

我們假設木塊與平面間沒有摩擦力，那麼在我們釋放彈簧後， ... 返回目錄頁 物理學的世界 什麼是物理？ 科學方法 測量與實驗 有效位數 物理中的數學方法 向量 物理學中的微積分 常用的微分與積分公式 直線與平面運動 速度與速率 加速度 位移、速度、加速度 自由落體 相對運動 拋物線運動 力與運動 慣性定律 力與加速度 作用力與反作用力 力圖 摩擦力 虎克定律 靜力平衡 功與能量 作功 能量與守恆 動能 重力位能 彈力位能 功率 動量與碰撞 動量是什麼？ 動量守恆 彈性與非彈性碰撞 轉動 從角位置到角加速度 轉動慣量與轉動動能 常見的轉動慣量 平行軸定理 力矩 角動量守恆 滾動 轉動與平移運動公式 圓周運動與星體運動 等速率圓周運動 萬有引力定律 衛星運動 克普勒第一定律 克普勒第二定律 克普勒第三定律 簡單機械原理 斜面原理 槓桿原理 齒輪與履帶 定與動滑輪 簡諧運動 彈簧的簡諧運動 單擺的簡諧運動 波、聲音、光 什麼是波？ 波的種類 波速、頻率、波長 聲波 共振與回聲 流體力學 液體的特性 液體壓力 浮力 流體的動力分析 表面張力 熱力學 溫度與熱 熱、比熱、溫度 物質的三相 溫度的轉移與平衡 作功與溫度 熵 熱力學第一定律準靜態過程 光的基本介紹 電磁波與光 反射作用 光與顏色 凹面鏡與凸面鏡 折射作用 凹透鏡與凸透鏡 成像公式 折射與反射的生活應用 電 電荷與起電 導體、絕緣體、半導體 靜電力 電場與電力線 導體的靜電平衡 平行板電場 電位差與電能 電容 電流與電阻 電的生活應用 電路與電路元件 串聯、並聯、等效電阻 電功與生活用電 神奇的光 薄膜干涉 單狹縫干涉 雙狹縫干涉 尚未登入 前去登入/註冊 首頁&搜尋 所有課程 分享資源 最愛課程 收藏內容 常見問題 關於學呀 線上募款 分享章節 將此章節分享到您所屬的Google教室班級中。

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致教育 感謝以下內容貢獻者的編輯 NeilLu 彈簧的簡諧運動 課程目錄 編輯課程 分享至Google教室 彈簧的簡諧運動 彈簧的運動模式 如圖，我們將一個位於平衡狀態的彈簧加上一個木塊，並且將彈簧拉伸至位置a。

我們假設木塊與平面間沒有摩擦力，那麼在我們釋放彈簧後，木塊將會怎麼移動呢？ 答案是：這個木塊將會被彈簧拉回，經過平衡位置後，到達-a，接著再經由平衡位置回到a，如此一直循環下去。

因為我們假設了彈簧內部以及木塊和地面間沒有摩擦力，彈簧與木塊便永遠不會靜止下來。

但是，這樣的運動，能不能用數學式子來表達呢？其實是可以的，而且這數學可說是相當的平易進人。

經過實驗以及推導後我們發現，彈簧來回擺動的動作，其實就是一個等速率圓周運動的投影。

圓周運動的投影 如上圖，我們首先假設一個在x-y平面上繞著原點行等速率圓周運動的物體，並且嘗試將其投影在另一軸上，觀察其x軸的運動模式。

這個x軸上的木塊運動模式，就是所謂的簡諧運動，亦即「簡單又和諧的運動」（SimpleHarmonicMotion,S.H.M.）。

接著，我們嘗試將這個投影後的運動用數學式子來表達，這樣就可以知道木塊在任意時間點下的位置。

我們可以先用等速率圓周運動的數學式來思考。

使用圓形的參數式，圖中的運動可以被寫成： $$x=a\cdotcos(\omega\cdott)$$$$y=a\cdotsin(\omega\cdott)$$ 其中，$a$是一個常數，控制著等速率圓周運動的旋轉半徑，而$\omega$也是一個常數，與圓周運動的週期有關。

現在，我們要將以上的參數式投影於x軸，因此我們只需保留其x軸部分： $$x=a\cdotcos(\omega\cdott)$$ 我們可以將彈簧的虎克定律與上面位置對時間的關係式結合。

虎克定律說道，彈簧對物體所施的力與彈簧的伸縮長度成正比，並以彈性係數$k$作為其正比的係數： $$F=-k\cdot\Deltax$$ 經過數學的運算後我們可以得到，一塊質量為$m$的木塊與彈簧相接，經彈簧拉伸至拉伸量為$a$後放手，其位置對時間的關係函數$x(t)$可以寫作： $$x(t)=a\cdotcos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdott)$$ 上述的式子將在章節的後半段證明，此時此刻先讓我們用這個式子來推導出一些彈簧簡諧運動的特性。

首先我們要知道的是，彈簧在任意一個時間下的速度。

因為我們知道，速度是位移對時間的微分，因此我們可以直接微分後得到$v(t)$： $$v(t)=-a\cdot\sqrt{\frac{k}{m}}\cdotsin(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdott)$$ 如果對上述的式子再一次微分，我們將能得到加速度對時間的函數$\alpha(t)$： $$\alpha(t)=-a\cdot\frac{k}{m}\cdotcos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdott)$$ 接下來我們要計算的，是彈簧震盪的週期。

震盪的週期所代表的，是木塊由起始位置a經過彈簧平衡位置到達-a，再原路返回起始位置a所花費的時間，因此震盪的週期即為位置函數$x(t)$的週期。

我們將$x(t)$中的三角函數部分放大來檢視： $$cos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdott)$$ cos函數不論在什麼及況下，週期都固定是2π，因此欲求上述式子的週期，我們只需要將括號中的部分變成2π就可以了： $$\sqrt{\frac{k}{m}}\cdott=2\pi$$ 移項並且更換符號之後我們便能得到週期$T$： $$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ 圓周投影的證明 簡諧運動為等速率圓周運動的投影是一個事實，但是究竟為什麼呢？接下來，我們來證明這個許多人充滿疑惑的世紀之謎吧！首先，我們先準備一個木塊接上彈簧，並將其拉伸到位置a。

此時彈簧所具有的彈力位能$U_i$為： $$U_i=\frac{1}{2}k\cdota^2$$ 在我們放開手後，木塊與彈簧將會開始震盪。

最初的彈力位能$U_i$不斷地被轉換為木塊的動能$E_k$，剩餘的彈力位能則為$U_x$，直到木塊位於彈簧的平衡位置。

此時，彈簧剩餘的彈力位能$U_x$為0，而最初的彈力位能全部被轉換為動能。

因為能量守恆，我們可以得到： $$U_i=U_x+E_k$$ 其中，$U_i$代表放手前彈簧具有的彈力位能，$U_x$代表彈簧震盪過程中彈簧在任意位置$x$時具有的彈力位能，而$E_k$代表木塊在任意位置$x$的動能。

根據定義，上述的式子可以重寫作： $$\frac{1}{2}k\cdota^2=\frac{1}{2}k\cdotx^2+\frac{1}{2}m\cdotv^2$$ 這裡要注意的是，$a$代表的並非加速度，而是木塊起始位置的x座標。

我們將左右兩式同乘以2。

又因為速度$v$是位置$x$的微分，因此我們將$v$以$x\prime$來代替： $$k\cdota^2=k\cdotx^2+m\cdot(x\prime)^2$$ 同時除以$k$後： $$a^2=x^2+\frac{m}{k}\cdot(x\prime)^2$$ 解到這裡，大部分的人就無法再解下去了。

上述的式子是一個微分方程，需要一定的數學方法才能解決。

然而，這一個微分方程比較簡單，其實可以「用想的」想出結果來。

我們的最終目標是求出$x$函數是什麼。

因為$a$是木塊的起始位置，不會因為木塊再震盪當下的位置而改變，因此為一個常數，連帶地，等號左側的$a^2$也會是一個常數。

我們現在要求$x$函數，可以這樣想：「什麼樣的函數的平方，加上自己微分後的平方，會成為一個常數？」 我們知道，三角函數$sin(x)$的微分為$cos(x)$，而$cos(x)$的微分為$-sin(x)$。

而我們又知道，$sin(x)^2+cos(x)^2=1$這個式子恆成立。

這是不是與上面的微分方程有些什麼相似之處呢？沒錯，$x$函數求出來後就是一個三角函數。

經過一些計算和代數的猜測後，我們可以得到這樣的結果： $$x=a\cdotcos(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdott)$$ 至此，我們得到了彈簧-木塊的震盪為等速率圓周運動投影的證明。

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